Visa källa för Kontaktmekanik

[[Fil:Kontakt Spannungsoptik.JPG|miniatyr|Spänningar i ett kontaktområde under samtidig belastning genom en normalkraft och en tangentialkraft. Spänningen åskådliggjordes genom spänningsoptik.]]

'''Kontaktmekaniken''' handlar om beräkningen av [[elastisk]]a, viskoelastiska och [[plastisk]]a kroppar i statisk eller dynamisk kontakt. Kontaktmekanik är en grundläggande [[ingenjörsvetenskap]]lig disciplin som är essentiell för säker och energisparande konstruktion av tekniska anläggningar. Den är intressant för tillämpningar som hjul-räls-kontakt, [[koppling]]ar, [[bromsar]], [[däck (hjul)|däck]], glid- och kul[[lager]], [[förbränningsmotor]]er, [[led]], [[tätning]]ar, omformning, materialbearbetning, ultraljudsvetsning, elkontakter och dylikt. Dess uppgifter räcker från [[hållfasthet]]sprovning i kontakt- och förbindningselement över påverkan av [[friktion]] och nötning genom smörjning och materialdesign till användningar i mikro- och nanosystemteknik.

==Historia==
Den klassiska kontaktmekaniken är framför allt förknippad med [[Heinrich Hertz]]. 1882 löste Hertz problemet av kontakten mellan två elastiska kroppar med böjda ytor. Detta klassiska resultat bildar även idag en bas för kontaktmekaniken. Först hundra år senare hittade Johnson, Kendall och Roberts en liknande lösning för en adhesiv kontakt (JKR teori). Ett vidare framsteg i vårt vetande om kontaktmekaniken i mitten av 1900-talet är förknippad med namnen Bowden och Tabor. De hänvisade först på viktigheten av råheten av de kontakterande kropparna. Genom råheten är den sanna kontaktytan mellan friktionspartners några storleksordningar mindre än den skenbara ytan. Denna insikt förändrade snabbt inriktningen av många [[tribologi]]ska undersökningar. Bowdens och Tabors arbeten utlöste en rad av teorier om rå ytors kontaktmekanik. Som pionjärsarbeten inom detta område måste Archards bidrag 1957 ses. Han kommer till slutsatsen att även i kontakt av elastiska rå ytor så är kontaktytan ungefär proportionell mot normalkraften. Andra viktiga bidrag är förknippade med namnen Greenwood och Williamson (1966), Bush (1975) och Persson (2002). Det viktigaste resultat av dessa arbeten är att den sanna kontaktytan hos rå ytor är närmelsevis proportionell mot [[normalkraft]]en medan betingelsen i enstaka mikrokontakter ([[tryck]], storlek av mikrokontakten) beror endast svagt på belastningen.

==Klassiska kontaktproblem==

===Kontakt mellan ett klot och ett elastiskt halvrum===
[[Fil:Kontakt Kugel Ebene.jpg|miniatyr|Kontakt mellan ett klot och ett elastiskt halvrum]]

Är ett elastiskt klot med radie <math>R</math> i ett elastiskt halvrum intryckt med djup <math>d</math> så bildas ett kontaktområde med radie <math>a=\sqrt{Rd}</math>. Den nödvändiga kraften är

<math>F=\frac{4}{3}E^*R^{1/2}d^{3/2}</math>,

där

<math>\frac{1}{E^*}=\frac{1-\nu^2_1}{E_1}+\frac{1-\nu^2_2}{E_2}</math>.

<math>E_1</math> och <math>E_2</math> är [[elasticitetsmodul]] och <math>\nu_1</math> och <math>\nu_2</math>  är [[Poissons tal]] av de två kropparna. Är två klot med radie <math>R_1</math> resp <math>R_2</math> i kontakt med varandra så gäller dessa ekvationer fortfarande med radie <math>R</math> med 

<math>\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}</math>.

[[Tryck]]fördelningen i kontaktområdet ges av
 
<math>p=p_0\left(1-\frac{r^2}{a^2}\right)^{1/2}</math>

där

<math>p_0=\frac{2}{\pi}E^*\left(\frac{d}{R}\right)^{1/2}</math>. Den maximala [[skjuvspänning]]en ligger i det inre för <math>\nu = 0,33</math> vid <math>z\approx 0,49a</math>. 

===Kontakt mellan två korsade cylindrar med lika radier <math>R</math>===  
[[Fil:Kontakt gekreuzter Zylinder.jpg|miniatyr|Kontakt mellan två korsade cylindrar med lika radier]]

är ekvivalent med kontakten mellan ett klot med radie R och ett halvrum (se ovan). 

=== Kontakt mellan en stel cylinder och ett elastiskt halvrum ===
[[Fil:Kontakt Zylindrischer Indenter Ebene.jpg|miniatyr|Kontakt mellan en stel cylinder och ett elastiskt halvrum]]

Trycks en stel cylinder med radie <math>a</math> in i ett elastiskt halvrum så ges tryckfördelningen av

<math>p=p_0\left(1-\frac{r^2}{a^2}\right)^{-1/2}</math>

där

<math>p_0=\frac{1}{\pi}E^*\frac{d}{a}</math>. Relationen mellan intrycksdjupet och normalkraften är

<math>F=2aE^*d\frac{}{}</math>.

===Kontakt mellan en stel konformad indenter och ett elastiskt halvrum===
[[Fil:Kontakt Kegel Ebene.jpg|miniatyr|Kontakt mellan en stel konformad indenter och ett elastiskt halvrum]]

Vid intryckning av ett elastiskt halvrum genom en stel konformad indenter ges relationen av intrycksdjupet och kontaktradien av

<math>d=\frac{\pi}{2}a\tan\theta</math>.

<math>\theta</math> är vinkeln mellan ytan och konen. Tryckfördelningen har formen 

<math>p(r)=-\frac{Ed}{\pi a\left(1-\nu^2\right)}ln\left(\frac{a}{r}+\sqrt{\left(\frac{a}{r}\right)^2-1} \right)</math> .

Spänningen har en logaritmisk singularitet vid konens spets (i kontaktområdets mitt). Totalkraften beräknas enligt

<math>F_N=\frac{2}{\pi}E\frac{d^2}{\tan \theta}</math>.

===Kontakt mellan två cylindrar med parallella axlar===
[[Fil:Kontakt paralleler Zylinder.jpg|miniatyr|Kontakt mellan två cylindrar med parallella axlar]]

Vid kontakten mellan två cylindrar med parallella axlar är kraften linjär proportionell mot intrycksdjupet

<math>F=\frac{\pi}{4}E^*Ld</math>.

Krökningsradien dyker inte alls upp i denna relation. Den halva kontaktbredden ges av 

<math>a=\sqrt{Rd}</math>

med

<math>\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}</math> 

som i kontakten mellan två klot. Det maximala trycket är

<math>p_0=\left(\frac{E^*F}{\pi LR}\right)^{1/2}</math> .

===Kontakt mellan råa ytor===

Om två kroppar med råa ytor trycks mot varandra så är den reala kontaktytan <math>A</math> mycket mindre än den skenbara ytan <math>A_0</math>. Vid kontakt mellan en rå yta och ett elastiskt halvrum är den reala kontaktytan proportionell mot normalkraften <math>F </math> och ges av 

<math>A=\frac{\kappa}{E^*h'}F</math>

där <math>h'</math> är det kvadratiska medelvärdet av ytans stigning och <math>\kappa \approx 2</math>. Genomsnittstrycket i den sanna kontaktytan 

<math>\sigma =\frac{F}{A}\approx\frac{1}{2}E^*h'</math>

beräknas approximativt som hälften av den effektiva elasticitetsmodulen <math>E^*</math> multiplicerad med det kvadratiska medelvärdet av ytans stigning <math>h'</math>. Om trycket är större än materialets hårdhet <math>\sigma_0</math> och 

<math>\Psi = \frac{E^*h'}{\sigma _0}>2</math>

är mikroråheten fullständig i det plastiska tillståndet. För <math>\Psi  < \frac{2}{3}</math> förhåller sig ytan vid kontakten elastiskt. Storheten <math>\Psi </math> introducerades av Greenwood och Williamson och kallas plasticitetsindex. Om systemet uppträder elastiskt eller plastiskt beror inte på de applicerade normalkraften.

== Litteratur ==
* K. L. Johnson: ''Contact mechanics.'' Cambridge University Press, 2001.
* Popov, Valentin L.: ''Kontaktmechanik und Reibung. Ein Lehr- und Anwendungsbuch von der Nanotribologie bis zur numerischen Simulation'', Springer-Verlag, 2009, 328 S., ISBN 978-3-540-88836-9.
* Popov, Valentin L.: ''Contact Mechanics and Friction. Physical Principles and Applications'', Springer-Verlag, 2010, 362 p., ISBN 978-3-642-10802-0.
* I. N. Sneddon: ''The Relation between Load and Penetration in the Axisymmetric Boussinesq Problem for a Punch of Arbitrary Profile.'' Int. J. Eng. Sci.,1965, v. 3, pp. 47–57.
* S. Hyun, M.O. Robbins: ''Elastic contact between rough surfaces: Effect of roughness at large and small wavelengths.'' Trobology International, 2007, v.40, pp. 1413-1422.

[[Kategori:Mekanik]]

[[bg:Механика на контакта]]
[[de:Kontaktmechanik]]
[[en:Contact (mechanics)]]
[[es:Mecánica de contacto]]
[[fr:Mécanique des contacts]]
[[hr:Mehanika kontakta]]
[[ru:Механика контактного взаимодействия]]
[[sr:Механика контакта]]
[[zh:接触力学]]