Visa källa för Area

[[File:Area.svg|right|thumb|Arean av de tre formerna tillsammans är mellan 15 och 16 [[kvadrat]]er.]]

'''Area''' är en storhet som beskriver utsträckningen av en [[tvådimensionell]] [[yta]] i [[plan (geometri)|planet]]. Arean hos en form kan mätas genom att jämföra den med en [[kvadrat]]er av bestämd storlek. [[Internationella måttenhetssystemet|SI enheten]] för area är [[kvadratmeter]] (m²). Inom [[matematik]]en är [[enhetskvadraten]] definierad till att ha arean 1.

Det finns flera välkända formler som beskriver arean hos enkla [[Geometrisk figur|geometriska former]], såsom [[triangel|trianglar]], [[rektangel|rektanglar]] och [[cirkel|cirklar]]. Med dessa formler kan arean av en godtycklig [[polygon]] beräknas med [[polygontriangulering]], det vill säga att dela upp polygonen i trianglar.<ref name="bkos">{{bokref |efternamn = de Berg |förnamn = Mark |efternamn2 = van Kreveld |förnamn2 = Marc |efternamn3 = Overmars |förnamn3 = Mark |förfarrarlänk3 = Mark Overmars |efternamn4 = Schwarzkopf |förnamn4 = Otfried |år = 2000 |titel = Computational Geometry |utgivare = Springer-Verlag |upplaga = 2 |isbn = 3-540-65620-0 | kapitel = Polygon Triangulation |sid = 45–61}}</ref> För geometriska former med krökta [[rand (topologi)|ränder]] måste man vanligen använda [[matematisk analys]] för att beräkna arean. Faktum är att behovet att kunna bestämma arean hos plana geometriska former var en av anledningarna till att den matematiska analysen utvecklades. <ref>{{Bokref |förnamn = Carl B. |efternamn = Boyer |titel = A History of the Calculus and Its Conceptual Development |utgivare = Dover Publications |utgivningsort = New York |år = 1959}}</ref>

Ytarean hos enkla tredimensionella geometriska former såsom [[sfär]]er, [[kon]]er och [[cylinder|cylindrar]] kunde redan de gamla grekerna bestämma. Mer komplicerade kroppars ytarea kan beräknas med matematisk analys i flera variabler.

Area har stor betydelse inom modern matematik. Detta gäller inte bara den uppenbara betydelsen inom [[geometri]] och matematisk analys; area är besläktat med definitionen av [[determinant]]er i [[linjär algebra]], och är en grundläggande egenskap i [[differentialgeometri]].<ref name="doCarmo">{{bokref |efternamn=do Carmo |förnamn=Manfredo |titel=Differential Geometry of Curves and Surfaces |utgivare=[[Prentice-Hall]] |år=1976 |sid=98}}</ref> Generellt, inom mer avancerad matematik, ses area som ett specialfall av [[volym]] för tvådimensionella regioner.

==Definition==
En ansats att definiera vad som menas med area är genom ett antal [[axiom]]. Till exempel kan vi definiera area som en funktion ''a'' från en samling speciella plana figurer (benämns mätbara mängder) ''M'' till mängden reella tal som har följande egenskaper:
*''a''(''S'') ≥ 0 för alla ''S'' i ''M''.
*Om ''S'' och ''T'' tillhör ''M'' så gör även ''S''&nbsp;∪&nbsp;''T'', ''S''&nbsp;∩&nbsp;''T'' och  {{nowrap|''a''(''S'' ∪ ''T'') {{=}} ''a''(''S'') + ''a''(''T'') - ''a''(''S''&nbsp;∩&nbsp;''T'')}} det.
* Om ''S'' och ''T'' tillhör ''M'' med ''S''&nbsp;⊆&nbsp;''T'' så tillhör ''T''&nbsp;-&nbsp;''S'' också ''M'' och {{nowrap|''a''(''T'' - ''S'') {{=}} ''a''(''T'') - ''a''(''S'')}}.
* Om en mängd ''S'' tillhör ''M'' och ''S'' är kongruent med ''T'' så tillhör ''T'' också ''M'' och ''a''(''S'')&nbsp;=&nbsp;''a''(''T'').
* Varje rektangel ''R'' tillhör ''M''. Om rektangeln har längden ''h'' och bredden ''k'' så är ''a''(''R'')&nbsp;=&nbsp;''hk''.
* Låt ''Q'' vara en mängd innesluten mellan två rektangelområden ''S'' och ''T''. Ett rektangelområde utgörs av en finit union av närliggande rektanglar på en gemensam bas, det vill säga {{nowrap|S ⊆ Q ⊆ T}}. Om det finns ett unikt tal ''c'' sådant att {{nowrap|''a''(''S'') ≤ c ≤ ''a''(''T'')}} för alla sådana rektangelområden ''S'' och ''T'', så är ''a''(''Q'')&nbsp;=&nbsp;''c''.

==Enheter==
[[Image:SquareMeterQuadrat.JPG|thumb|right|En [[kvadrat]] med ytan en kvadratmeter.]]
Varje [[längdenhet]] har en motsvarande [[ytenhet]], där längdenheten motsvarar alla sidor i en kvadrat. Alltså kan area mätas i till exempel kvadratmeter (m²), kvadratcentimeter (cm²), kvadratmillimeter (mm²), kvadratkilometer (km²).

===Enhetsomvandlingar===
[[Image:Area conversion - square mm in a square cm.png|thumb|right|Det går 10&nbsp;mm på 1&nbsp;cm, och 100&nbsp;mm² på 1&nbsp;cm².]]
Omvandlingar mellan två ytenheter är kvadraten av deras längdförhållande. Till exempel är 
:1 [[cm]] = 10 [[mm]]
och förhållandet mellan cm² och mm² är 100, det vill säga 10<sup>2</sup>.

Vidare är:
* 1 kvadratkilometer = [[miljon|1&nbsp;000&nbsp;000]] kvadratmeter
* 1 kvadratmeter = 10&nbsp;000 kvadratcentimeter = 1&nbsp;000&nbsp;000 kvadratmillimeter

===Andra enheter===
Det finns flera andra vanliga enheter för area. [[Ar (enhet)|aret]] var den första enheten i det metriska måttsystemet, där
* 1 ar = 100 kvadratmeter
Även om ar sällan används idag så är [[hektar]] fortfarande vanligen som enhet för markarea.
*1 hektar = 100 ar = 10&nbsp;000 kvadratmeter = 0,01 kvadratkilometer.

==Grundläggande formler för area==
[[fil:RectangleLengthWidth.svg|thumb|right|Arean hos den här rektangeln är ''l''×''w''.]]

===Rektanglar===
Den enklaste areaformeln är [[rektangel]]n. Givet en rektangel med längden ''l'' och bredden ''b'', är arean
:<math>A = l \cdot b</math> &nbsp; (rektangel)

Alltså, arean hos en rektangel är längden [[multiplikation|multiplicerat]] med bredden. Som ett specialfall av detta har en kvadrat med sidolängd ''s'' arean 
:<math>A = s^2</math> &nbsp; (kvadrat)

Formeln för arean hos en rektangel följer direkt från de grundläggande egenskaperna hos area, och betraktas ibland som en [[definition]] eller ett [[axiom]]. Å andra sidan, om [[geometri]] utvecklas före [[aritmetik]], så kan denna formel användas för att definiera multiplikation av [[reella tal]].

[[Image:ParallelogramArea.svg|thumb|left|upright|Figurer med samma area.]]

===Dissektionsformeln===
De flesta andra enkla formlerna för area följer av [[dissektion (geometri)|dissektion]]. Detta innebär att man skär en plan figur i bitar, som [[addition|summerar]] till arean hos originalfiguren.

Till exempel kan alla [[parallellogram]] delas upp i en [[trapetsoid]] och en rät [[triangel]] (enligt figuren till vänster). Om triangeln flyttas till andra sidan av trapetsoiden resulterar detta i en rektangel. Därför är arena hos en parallellogram samma som för en rektangel:
:<math>A = b \cdot h</math> &nbsp; (parallellogram)

[[Image:TriangleArea.svg|thumb|right|upright|Två likadana trianglar.]]Men samma parallellogram kan också skäras längs sin ena [[diagonal]] till två [[kongruent]]a trianglar, som i figuren till vänster. Från detta får man att arean hos vardera triangel är hälften av arean hos parallellogrammet:
:<math>A =\frac{b \cdot h}{2}</math> &nbsp; (triangel)

Liknande resonemang kan föras för att hitta formler för arean hos [[trapetsoid]]er, [[romb]]er och mer avancerade [[polygon]]er.

===Cirklar===
[[Image:CircleArea.svg|thumb|right|En cirkel kan delas upp i [[sektor]]er, som ungefärligen kan arrangeras som en parallellogram.]]

Formeln för [[cirkel]]ns area grundar sig i en liknande metod. Givet en cirkel med radien ''r'' kan den delas in i sektorer enligt figuren till höger. Varje sektor är [[approximation|approximativt]] en triangulär, och kan fördelas om till en approximativ parallellogram. Höjden hos denna parallellogram är ''r'' och bredden hälften av omkretsen hos cirkeln, eller π''r''. Alltså är den totala arean hos cirkeln ''r''⋅π''r'' eller π⋅''r''<sup>2</sup>.
:<math>A = \pi r^2</math> &nbsp; (cirkel)

Trots att dissektionen av cirkeln till sektorer är approximativ så blir felet mindre och mindre, ju fler sektorer som cirkeln delas in i. [[Gränsvärde]]t som arean hos  parallellogrammen går mot är exakt π⋅''r''<sup>2</sup>, som är cirkelns area. Detta resonemang är en enkel tillämpning av [[matematisk analys]].

===Mantelarea===
[[Image:Archimedes sphere and cylinder.svg|right|thumb|upright|[[Archimedes]] visade att mantelarean och volymen hos en [[sfär]] är exakt ⅔ av arean och volymen hos den omkringliggande [[cylinder|cylindriska ytan]].]]
De flesta enkla formler för mantelarea kan fås genom att skära upp ytan och släta ut till ett plan. Till exempel, om sidan hos en [[cylinder]] eller ett [[prisma]] skärs på längden så kan ytan slätas ut till en rektangel. På samma sätt, om en [[kon]] skärs från basen till toppen så kan ytan slätas ut till en cirkelsektor, och arean räknas ut.

Formeln för mantelarean hos en [[sfär]] är svårare: eftersom ytan på en sfär har [[Gausskrökning]] som är skild från noll så kan den inte slätas ut till ett plan. Mantelarean hos en sfär beräknades först av [[Arkimedes]] i hans verk 'Om mätning av cirkeln'. Formeln är
:<math>A = 4 \pi r^2</math> &nbsp; (sfär)

där ''r'' är radien hos sfären. Precis som för cirkeln använder härledningar av denna formel metoder som påminner om matematisk analys.

==Lista över areaformler==
{| class="wikipedia
|+ '''Vanliga areaformler'''
! Figur
! Formel
! Variabler
|-
|Regelbunden [[triangel]] ([[liksidig triangel]])
|<math>\tfrac14\sqrt{3}s^2</math>
|''s'' är längden hos en sida i triangeln.
|-
|[[Triangel]]
|<math>\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}</math>
|''s'' är halva perimetern, ''a'', ''b'' och ''c'' är längderna hos sidorna.
|-
|[[Triangel]]
|<math>\tfrac12 a b \sin(\gamma)</math>
|''a'' och ''b'' är två av sidorna, och γ är vinkeln mellan dem.
|-
|[[Triangel]]
|<math>\tfrac12 b h</math>
|''b'' och ''h'' är [[bas (geometri)|basen]] och höjden (mätt vinkelrätt basen).
|-
|[[Kvadrat]]
|<math>s^2</math>
|''s'' är längden hos en sida.
|-
|[[Rektangel]]
|<math>l b</math>
|''l'' och ''b'' är längderna hos sidorna (längd och bredd).
|-
|[[Romb]]
|<math>\tfrac12 a b</math>
|''a'' och ''b'' är längderna hos de två [[diagonal]]erna.
|-
|[[Parallellogram]]
|<math>b h</math>
|''b'' är ländgden hos basen och ''h'' här höjden vinkelrätt mot basen.
|-
|[[Trapetsoid]]
|<math>\tfrac12(a+b)h</math>
|''a'' och ''b'' är den parallella sidornas längder och ''h'' avståndet (höjden) mellan de parallella sidorna.
|-
|Regelbunden [[hexagon]]
|<math>\tfrac32\sqrt{3}s^2</math>
|''s'' är längden på en sida hos hexagonen.
|-
|Regelbunden [[oktagon]]
|<math>2\left(1+\sqrt{2}\right)s^2</math>
|''s'' är längden på en sida hos oktagonen.
|-
| rowspan=2 | [[Regelbunden polygon]]
|<math>\frac{ns^2} {4 \cdot \tan(\pi/n)}</math>
|''s'' är längden på sidan, och ''n'' antalet sidor.
|-
|<math>\tfrac12 a p</math>
|''a'' är [[apotemen]], eller radien hos en invändig cirkel som tangerar polygonen, och ''p'' är perimetern hos polygonen.
|-
|[[Cirkel]]
|<math>\pi r^2</math> eller <math>\frac{\pi d^2}{4}</math>
|''r'' är radien, och ''d'' [[diameter]]n.
|-
|[[Cirkelsektor]]
|<math>\tfrac12 r^2 \theta</math>
|''r'' och ''θ'' är radien och vinkeln i [[radian]]er.
|-
|[[Ellips (matematik)|Ellips]]
|<math>\pi ab</math>
|''a'' och ''b'' är längderna på storaxeln och lillaxeln.
|-
|Total omslutningsarea hos en [[Cylinder]]
|<math>2\pi r (r + h)\,\!</math>
|<math>r</math> och <math>h</math> är radien och höjden.
|-
|Mantelarea hos en cylinder
|<math>2 \pi r h</math>
|''r'' och ''h'' är radien och höjden.
|-
|Total omslutningsarea hos en [[kon]]
|<math>\pi r (r + l)</math>
|''r'' och ''l'' är radien och längden från basperiferin till toppen.
|-
|Mantelarea hos en kon
|<math>\pi r l</math>
|''r'' och ''l'' är radien och längden från basperiferin till toppen.
|-
|Total ytarea hos en [[sfär]]
|<math>4\pi r^2\ \text{or}\ \pi d^2</math>
|''r'' och ''d'' är radien och diametern.
|-
|Total ytarea hos en [[pyramid (geometri)|Pyramid]]
|<math>B+\frac{p l}{2}</math>
|''B'' är basarean, ''p'' är basens perimeter och ''l'' är avståndet från basperimetern till toppen.
|-
|Konvertering från [[kvadrat]]isk till cirkulär area
|<math>\frac{4}{\pi} A</math>
|''A'' är arean hos kvadraten i kvadratisk enhet.
|-
|Konvertering från [[Cirkel|Cirkulär]] till kvadratisk area
|<math>\tfrac14 C\pi</math>
|''C'' är arean hos cirkeln i cirkulär enhet.
|}

Formlerna ovan visar hur arean kan beräknas för många enkla och regelbundna figurer. Arean hos oregelbundna polygoner kan beräknas med 'Surveyors formel'.<ref>{{tidskriftsref |url=http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma063.pdf |titel=The Surveyor’s Area Formula |efternamn=Braden |förnamn=Bart |tidskrift=The College Mathematics Journal |volym=17 |nummer=4 |datum=september 1986 |sid=326–337}}</ref>

==Se även==
*[[Integraler]]
*[[Perimeter]]
*[[Volym]]
*[[Omkrets]]

==Referenser==
<references/>

{{översatt|url=http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Area&oldid=436218289|språkversion=Engelskspråkiga}}

==Externa länkar==
{{Commons cat|Area}}
{{Wiktionary}}
* [http://www.math.com/tables/geometry/areas.htm Areaformler]

[[Kategori:Fysikaliska storheter]]
[[Kategori:Wikipedia:Basartiklar]]