Dan Olsson: 1 version

2013-02-24T18:33:32Z

1 version

Ny sida

[[Fil:Newtons cradle animation book.gif|miniatyr| 300px |Rörelsemängd och energi är bevarade vid [[stöt (mekanik)|stötarna]] i [[Newtons vagga]].]]

Inom [[klassisk mekanik]], definieras '''rörelsemängden''' ([[SI]]-enhet [[kilogram|kg]]·[[meter per sekund|m/s]]) som produkten av ett objekts [[massa]] och [[hastighet]].

I allmänhet kan rörelsemängden uppfattas som ett mått på hur svårt det är att ändra ett objekts rörelsetillstånd, bestämt av två faktorer: dess massa och dess hastighet. Detta kan ses som en naturlig konsekvens av [[Newtons första lag]] och [[Newtons andra lag]]. Reducerad hastighet eller massa resulterar i mindre rörelsemängd och omvänt.

Rörelsemängd är en konserverad kvantitet i den betydelsen att den totala rörelsemängden för ett slutet system (ett som inte påverkas av yttre krafter) inte kan ändras.

== Rörelsemängd inom klassisk mekanik ==
Om ett objekt rör sig i en referensram så har det en rörelsemängd i denna ram. Det är viktigt att notera att rörelsemängden beror av referensramen. Ett objekt har en viss rörelsemängd relativt en fast punkt på marken medan det har rörelsemängden 0 i en referensram som är förbunden med objektet (en referensram i vilket objektet är i vila).

Den rörelsemängd ett objekt har beror av två fysikaliska kvantiteter: [[massa]]n och [[hastighet]]en för objektet i referensramen.

Rörelsemängd betecknas vanligen med <math>\mathbf{p}</math> och är en [[vektor]] och rörelsemängden kan då skrivas
:<math>\mathbf{p}= m \mathbf{v}</math>
där:
:<math>\mathbf{p}</math> är rörelsemängden ([[vektor]])
:<math>\ m</math> är massan ([[skalär]])
:<math>\mathbf{v}</math> är hastigheten ([[vektor]])

== Rörelsemängd för ett system ==
=== System av massa och hastighet ===
Rörelsemängden för ett system av objekt är den vektoriella summan av alla objekts rörelsemängd för de objekt som tillhör systemet.

:<math>\mathbf{p}= \sum_{i = 1}^n m_i \mathbf{v}_i = m_1 \mathbf{v}_1 + m_2 \mathbf{v}_2 + m_3 \mathbf{v}_3 + ... + m_n \mathbf{v}_n </math>
där
:<math>\mathbf{p}</math> är rörelsemängden
:<math> m_i\ </math> är massan av ett objekt i systemet
:<math>\mathbf{v}_i</math> är den vektoriella hastigheten för ett objekt i systemet
:<math> n\ </math> är antalet objekt i systemet

=== System av krafter ===
Kraft är lika med rörelsemängdens ändringshastighet:

: <math>\mathbf{F} = {\mathrm{d}\mathbf{p} \over \mathrm{d}t}</math>.

I fallet med konstant massa och hastigheter mycket lägre än ljushastigheten kan vi skriva <math>\mathbf{F} = m\mathbf{a} </math>, vanligtvis känd som [[Newtons andra lag]].

== Bevarande av rörelsemängd ==
Principen om bevarande av rörelsemängd innebär att den totala rörelsemängden för ett slutet system av objekt (vilka inte har några interaktioner med yttre objekt) är konstant. En av konsekvenserna av detta är att ett systems [[tyngdpunkt]] alltid rör sig med samma hastighet och riktning om det inte utsätts för påverkan utifrån.

Rörelsemängdens bevarande är enligt [[Noethers sats]] en konsekvens av rymdens homogenitet (translationsinvarians).
I ett isolerat system är rörelsemängden konstant: detta impliceras av [[Newtons första lag]]. [[Newtons tredje lag]]: lagen om ömsesidig verkan; krafter som verkar mellan system är lika till storlek men med motsatta tecken beror på rörelsemängdens bevarande.

Då rörelsemängd är en vektor har rörelsemängd riktning. När ett gevär avfyras uppstår rörelser i systemet men kulans rörelsemängd i ena riktningen är lika till storlek men med omvänt tecken i förhållande till gevärets rörelsemängd i den andra riktningen. Summan av gevärets och kulans rörelsemängder blir då noll, det vill säga det samma som för systemet innan kulan avlossades.

=== Elastiska kollisioner ===
En kollision mellan biljardbollar är ett bra exempel på en nästan helt elastisk kollision. Förutom att rörelsemängdsmomentet är bevarat när de två bollarna kolliderar så är den totala kinetiska energin före och efter kollisionen densamma (f = före, e = efter):
::<math>\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m_1 v_{1,f}^2
+ \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m_2 v_{2,f}^2
= \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m_1 v_{1,e}^2
+ \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} m_2 v_{2,e}^2 \,</math>

=== Oelastiska kollisioner ===
Ett exempel på en oelastisk kollision är när två snöbollar kolliderar och bildar en enda massa. Vi kan sätta upp en ekvation som beskriver bevarandet av rörelsemängden efter kollisionen:

::<math>m_1 \mathbf v_{1,f} + m_2 \mathbf v_{2,f} = \left( m_1 + m_2 \right) \mathbf v_e \,</math>

Det går att visa att en fullständigt oelastisk kollision är en i vilken maximal mängd kinetisk energi omvandlas i andra former. Om de båda objekten häftar vid varandra efter kollisionen och rör sig med en slutgiltig och gemensam hastighet, går det alltid att finna en referensram i vilken objekten bringas till vila efter kollisionen och all kinetisk energi är konverterad. Detta är sant även i det relativistiska fallet och används i partikelacceleratorer för att effektivt konvertera kinetisk energi till nya partiklar.

== Moderna definitioner av rörelsemängd ==
=== Rörelsemängd inom relativistisk mekanik ===
[[File:Tidsdilatation.svg|thumb|upright=1.2|<math>\ \gamma</math> som funktion av <math> \ v</math>]]
Inom relativistisk mekanik definieras rörelsemängd som

:<math> \mathbf{p} = \gamma m_0\mathbf{v} </math>
där
:<math>m_0\,</math> är den invarianta massan av det rörliga objektet
:<math> \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}</math> är [[Lorentzfaktorn]]
:<math>v\,</math> är den relativa hastigheten mellan objektet och en observatör
:<math>c\,</math> är [[ljusets hastighet]]

Relativistisk rörelsemängd övergår till newtonsk rörelsemängd <math> m\mathbf{v} </math> vid låga hastigheter <math> \big(\mathbf{v}/c \rightarrow 0 \big)</math>.

Den relativistiska [[4-rörelsemängd]] som den föreslogs av [[Albert Einstein]] är invariant under Lorentztransformationen. 4-rörelsemängden definieras som vektorn

:<math>\left( {E \over c} , p_x , p_y ,p_z \right)</math>

där
:<math>p_x,\ p_y,\ p_z</math> betecknar den ''relativistiska'' rörelsemängdens komponenter,
:<math>E \,</math> är systemets totala energi:
:<math> E = \gamma mc^2 \,</math>

Vektorns belopp är massan gånger ljusets hastighet, vilken är invariant med avseende på alla referensramar:

:<math>(E/c)^2 - p^2 = (mc)^2\,</math>

=== Rörelsemängd för masslösa objekt ===
Masslösa objekt sådana som en [[foton]] har också rörelsemängd:
:<math>p = \frac{h}{\lambda} = \frac{E}{c} </math>
där
:<math>h\,</math> är [[Plancks konstant]],
:<math>\lambda\,</math> är fotonens [[våglängd]],
:<math>E\,</math> är fotonens [[energi]] och
:<math>c\,</math> är [[ljusets hastighet]].

=== Rörelsemängd inom kvantmekanik ===
Inom [[kvantmekanik]]en är rörelsemängd definierad som en [[operator]] för [[vågfunktion]]en. [[Werner Heisenberg|Heisenbergs]] [[osäkerhetsprincip]] definierar gränser för hur noggrant rörelsemängd och position för ett observerat system kan bestämmas samtidigt. Inom kvantmekanik är position och rörelsemängd konjugerade variabler.

För en enstaka partikel som inte påverkas av en magnetisk [[potential]] kan rörelsemängdoperatorn skrivas

:<math>\mathbf{p}={\hbar\over i}\nabla=-i\hbar\nabla</math>

där <math>\nabla</math> är [[gradient]]operatorn, <math>\hbar</math> är [[Plancks konstant|Diracs konstant]] och <math>i\,</math> är den [[imaginära enheten]].

== Impuls ==
En [[impuls]] ändrar rörelsemängden för ett objekt. En impuls beräknas som [[integral]]en av [[kraft (fysik)|kraft]] med avseende på tid där integrationsintervallet är impulsens varaktighet:
:<math>I=\int F\,dt</math>
Då
:<math>F = \frac{dp}{dt}</math>
erhålls
:<math>I=\int\frac{dp}{dt}\,dt</math>
:<math>I=\int dp</math>
:<math>I=\Delta\ p</math>

=== Specifik impuls ===
Inom rymdfart används begreppet '''specifik impuls''', ''Isp''. Enkelt uttryckt är det ett mått på hur mycket kraft ett raketbränsle kan ge. Det är dock viktigt att tänka på att detta inte säger något om effektiviteten hos bränslet, alltså kraft per viktenhet.

Den specifika impulsen definieras som det förgasade bränslets utströmningshastighet dividerat med jordaccelerationen ''g'' och mäts i [[sekunder]]<ref>''Geostationära Nyttosatelliter'', ISBN 91-44-28021-1</ref>. Alternativ beskrivning är att det är förhållandet mellan dragkraften ''F/g'' och massutflödet ''dm/dt''. Massutflödet, eller det förgasade bränslets utströmningshastighet, påverkas inte bara av bränslet i sig utan också av [[raketmotor]]ns utformning.

<math>I_{sp} = \frac {V_p} {g} = \frac {F dt} {g dm}</math>

Ytterligare en beskrivning av ''Isp'' är att det är den totala impulsen per viktenhet förbränt bränsle<ref>''Spacecraft Systems Engineering'', ISBN 0-471-95220-6</ref>:

<math>I_{sp} = \frac {I} {M_pg_0} = \frac {\int_{0}^{t} F(t)\, dt} {g_0 \int_{0}^{t} m(t)\, dt}</math>

Vid konstant dragkraft och utströmningshastighet kan detta förenklas till: 
<math>I_{sp} = \frac {F} {mg_0}</math>

Typiska värden på ''Isp'' i sekunder för olika raketbränslen:

* Kall kvävgas = 75
* Fastbränsle = 210–290
* [[Hydrazin]] = 220–300
* [[1,1-Dimetylhydrazin|Dimetylhydrazin]] + [[Kvävetetroxid]] = 240–290
* [[Fotogen]] + [[Syre|O]]2 = 250–290
* [[Monometylhydrazin]] + [[Kvävetetroxid]] = 300–315
* [[Väte|H]]2 + [[Syre|O]]2 = 440–460

== Se även ==
* [[Rörelsemängdsmoment]]
* [[Motor]]

== Referenser ==
<references/>

[[Kategori:Fysikaliska storheter]]
[[Kategori:Mekanik]]
[[Kategori:Raketteknik]]
[[Kategori:Rörelse]]

[[ar:زخم الحركة]]
[[az:İmpuls]]
[[bn:ভরবেগ]]
[[zh-min-nan:Ūn-tōng-liōng]]
[[be:Імпульс]]
[[be-x-old:Імпульс]]
[[bg:Импулс (механика)]]
[[bs:Količina kretanja]]
[[ca:Quantitat de moviment]]
[[cs:Hybnost]]
[[sn:Runhanhira]]
[[cy:Momentwm]]
[[da:Impuls (fysik)]]
[[de:Impuls]]
[[et:Impulss]]
[[el:Ορμή]]
[[en:Momentum]]
[[es:Cantidad de movimiento]]
[[eo:Movokvanto]]
[[eu:Momentu lineal]]
[[fa:تکانه]]
[[fr:Quantité de mouvement]]
[[fy:Ympuls (natuerkunde)]]
[[gl:Cantidade de movemento]]
[[ko:운동량]]
[[hy:Իմպուլս (շարժման քանակ)]]
[[hi:संवेग (भौतिकी)]]
[[hr:Količina gibanja]]
[[id:Momentum]]
[[is:Skriðþungi]]
[[it:Quantità di moto]]
[[he:תנע]]
[[jv:Momèntum]]
[[ka:იმპულსი]]
[[kk:Дене импульсі]]
[[ht:Elan]]
[[lv:Impulss]]
[[lt:Judesio kiekis]]
[[hu:Lendület]]
[[mk:Импулс (механика)]]
[[ml:ആക്കം]]
[[mr:संवेग]]
[[ms:Momentum]]
[[mn:Момент]]
[[my:အဟုန်]]
[[nl:Impuls (natuurkunde)]]
[[ja:運動量]]
[[no:Bevegelsesmengde]]
[[nn:Rørslemengd]]
[[pnb:مومنٹم]]
[[pms:Quantità ëd moviment]]
[[nds:Impuls (Physik)]]
[[pl:Pęd (fizyka)]]
[[pt:Momento linear]]
[[ro:Impuls]]
[[ru:Импульс]]
[[sq:Vrulli]]
[[si:ගම්‍යතාවය]]
[[simple:Momentum]]
[[sk:Hybnosť]]
[[sl:Gibalna količina]]
[[ckb:ڕاوەش]]
[[sr:Импулс]]
[[su:Moméntum]]
[[fi:Liikemäärä]]
[[ta:உந்தம்]]
[[th:โมเมนตัม]]
[[tr:Momentum]]
[[uk:Імпульс]]
[[vi:Động lượng]]
[[zh:动量]]

Rörelsemängd - Versionshistorik

Dan Olsson: 1 version