Dan Olsson: 1 version

2013-02-24T18:33:22Z

1 version

Ny sida

[[Fil:Gyroskop.jpg|miniatyr|höger|200px|[[Gyroskop]]et förblir upprätt medan det spinner på grund av sitt rörelsemängdsmoment]]

'''Rörelsemängdsmoment''' (ibland även benämnt ''impulsmoment'') är ett centralt begrepp inom [[fysik]]en. I [[klassisk mekanik]] gäller att för en roterande kropp är rörelsemängdsmomentets förändring, och därmed också kroppens rotationstillstånd, relaterad till [[moment]]et av de yttre krafter som verkar på kroppen. För en kropp som roterar kring en fix punkt bestäms rörelsemängdsmomentet med avseende på punkten av kroppens [[massfördelning]] relativt punkten och dess [[vinkelhastighet]]. Även inom [[kvantmekanik]] är rörelsemängdsmoment en viktig storhet.

== Rörelsemängdsmoment inom klassisk mekanik ==
[[Fil:Torque animation.gif|frame|höger|Relationer mellan kraft (F), [[vridmoment]] (τ), och momentvektorer (p och L) i ett roterande system.]]

=== Definition ===
Rörelsemängdsmomentet '''L''' för en partikel kring en punkt O är definierad som [[kryssprodukt]]en

:<math>\mathbf{L}_{\mathrm{O}}=\mathbf{r}\times\mathbf{p}</math>

där '''r''' är partikelns positionsvektor relativt O och '''p''' är partikelns [[rörelsemängd]]. Rörelsemängdsmomentet med avseende på en axel definieras som projektionen på axeln av rörelsemängdsmomentet med avseende på en punkt på axeln och är följaktligen en skalär storhet.

Den härledda SI-enheten för rörelsemängdsmoment är 1 [[newton (enhet)|newton]]·[[meter]]·[[sekund]]; 1 N·m·s (kgm²s<sup>−1</sup>).

På grund av definitionen som en kryssprodukt är '''L''' en [[pseudovektor]] vinkelrät mot både den radiella vektorn '''r''' och rörelsemängdvektorn '''p'''.

Om ett system består av flera partiklar är det totala rörelsemängdsmomentet med avseende på en punkt eller en axel summan av rörelsemängdsmomenten för de ingående partiklarna. För en [[stel kropp]] som roterar kring en fix axel är rörelsemängdsmomentet med avseende på rotationsaxeln

:<math>L = I \cdot \omega,</math>

där <math>I</math> är kroppens [[tröghetsmoment]] kring rotationsaxeln och <math>\omega</math> är [[vinkelhastighet]]en. För en stel kropp som roterar kring en fix punkt ges rörelsemängdsmomentet med avseende på nämnda punkt av sambandet

:<math>\mathbf{L}=\mathbf{I}\boldsymbol{\omega},</math>

där '''I''' är [[tröghetstensor|tröghetstensorn]] i den aktuella punkten, och '''<math>\omega</math>''' är [[vinkelhastighetsvektor]]n. Vid allmän rörelse för en stel kropp kan rörelsemängdsmomentet med avseende på en punkt beräknas som summan av två termer, dels rörelsemängdsmomentet med avseende på momentpunkten för en tänkt partikel med samma massa som kroppen och samma läge och hastighet som kroppens tyngdpunkt, dels kroppens rörelsemängdsmoment med avseende på tyngdpunkten.

=== Lagen för rörelsemängdsmomentet ===

För en partikel ger lagen för rörelsemängdsmomentet med avseende på en fix punkt O att

:<math>\dot{\mathbf{L}}_{\mathrm{O}}=\mathbf{M}_{\mathrm{O}},</math>

där <math>\mathbf{L}_{\mathrm{O}}</math> är rörelsemängdsmomentet och <math>\mathbf{M}_{\mathrm{O}}</math> är de yttre krafternas moment med avseende på punkten O. Lagen kan härledas direkt ur [[Newtons lagar]].

Lagen gäller också för ett system av partiklar under förutsättning att dessa påverkar varandra med [[centralkraft]]er. Om en allmän kropp modelleras som ett sådant partikelsystem gäller även lagen för denna. Alternativt kan den postuleras. Motsvarande samband gäller om O ersätts av kroppens tyngdpunkt. För en stel kropp som roterar kring en fix axel a förenklas lagen till

:<math>I_{\mathrm{a}}\dot{\omega}=M_{\mathrm{a}}.</math>

Här är <math>I_{\mathrm{a}}</math> tröghetsmomentet, ''<math>\omega</math>'' vinkelhastigheten och <math>M_{\mathrm{a}}</math> kraftmomentet.

Ur lagen följer också att rörelsemängdsmomentet [[konserveringslagar|konserveras]] om yttre krafternas moment är noll. Detta är exempelvis fallet för en kropp som enbart påverkas av tyngdkraften, så kallad [[fri rotation]].

== Rörelsemängdsmoment inom kvantmekaniken ==
Inom [[kvantmekanik]]en är rörelsemängdsmomentet kvantiserad, det vill säga det kan inte variera kontinuerligt, utan endast mellan specifika tillåtna värden. Rörelsemängdsmomentet för en subatomisk partikel, beroende på dess rörelse genom rummet, är alltid en heltalsmultipel av <math>\hbar</math>, definierad som [[Plancks konstant]] dividerad med 2π.

Experiment har visat att de flesta subatomiska partiklarna har ett permanent, inbyggt rörelsemängdsmoment, vilket inte har att göra med deras rörelse genom rummet. Detta [[spinn]], rörelsemängdsmoment, förekommer i enheter av <math>\hbar/2</math>. Till exempel, en elektron i vila har ett rörelsemängdsmoment av <math>\hbar/2</math>.

=== Grundläggande definitioner ===
Den klassiska definitionen av rörelsemängdsmoment som
:<math>\ \mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p}</math>
beror av sex storheter:
:<math>\ r_x</math>, <math>\ r_y</math>, <math>\ r_z</math>, <math>\ p_x</math>, <math>\ p_y</math>, och <math>\ p_z</math>.
[[Osäkerhetsrelationen]] innebär att det inte är möjligt att mäta alla dessa värden samtidigt med godtycklig noggrannhet.
Detta innebär att det finns gränser för med vilken noggrannhet rörelsemängdsmomentet kan vara känt eller kan mätas.
Det visar sig att det bästa som går att åstadkomma är att samtidigt mäta rörelsemängdsmomentsvektorns amplitud och en av dess komponenter.

Inom kvantmekaniken definieras inte rörelsemängdsmomentet som en kvantitet utan som en operator för [[vågfunktion]]en
:<math>\mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p}</math>
där <math>\ \mathbf{r}</math> och <math>\ \mathbf{p}</math> är position- respektive rörelsemängdsmomentoperatorn. Speciellt, för en enskild partikel utan elektrisk laddning och spinn, kan rörelsemängdsmomentet skrivas som
:<math>\mathbf{L}=-i\hbar(\mathbf{r}\times\nabla)</math>
där <math>\nabla</math> är [[gradient]]operatorn. Denna orbitala rörelsemängdsmomentoperator är den vanligast förekommande formen av rörelsemängdsmomentoperator. Den satisfierar följande kommutativa relation
:<math>[L_i, L_j ] = i \hbar \epsilon_{ijk} L_k</math>,
där ε<sub>ijk</sub> är den (antisymmetriska) ''Levi-Civita symbolen''.
Av detta följer
:<math>\left[L_i, L^2 \right] = 0</math>

Då,
:<math>L_x = -i\hbar (y {\partial\over \partial z} - z {\partial\over \partial y})</math>
:<math>L_y = -i\hbar (z {\partial\over \partial x} - x {\partial\over \partial z})</math>
:<math>L_z = -i\hbar (x {\partial\over \partial y} - y {\partial\over \partial x})</math>

följer till exempel,
:<math>\begin{align}
\left[L_x,L_y\right] & = -\hbar^2 \left( (y {\partial \over \partial z} - z {\partial\over \partial y})(z {\partial\over \partial x} - x {\partial\over \partial z}) - (z {\partial\over \partial x} - x {\partial\over \partial z})(y {\partial \over \partial z} - z {\partial\over \partial y})\right) \\
& = -\hbar^2 \left( y {\partial\over \partial x} - x {\partial\over \partial y}\right) = i \hbar L_z. \\
\end{align}</math>

== Se även ==
* [[Rörelsemängd]]

[[Kategori:Fysikaliska storheter]]
[[Kategori:Mekanik]]
[[Kategori:Kvantfysik]]
[[Kategori:Rörelse]]

[[ar:زخم زاوي]]
[[az:İmpuls momenti]]
[[bn:কৌণিক ভরবেগ]]
[[bg:Момент на импулса]]
[[bs:Ugaona količina kretanja]]
[[ca:Moment angular]]
[[cs:Moment hybnosti]]
[[da:Impulsmoment]]
[[de:Drehimpuls]]
[[et:Impulsimoment]]
[[el:Στροφορμή]]
[[en:Angular momentum]]
[[es:Momento angular]]
[[eo:Angula movokvanto]]
[[eu:Momentu angeluar]]
[[fa:تکانه زاویه‌ای]]
[[fr:Moment cinétique (mécanique classique)]]
[[ga:Móiminteam uilleach]]
[[gl:Momento angular]]
[[ko:각운동량]]
[[hr:Kutna količina gibanja]]
[[id:Momentum sudut]]
[[is:Hverfiþungi]]
[[it:Momento angolare]]
[[he:תנע זוויתי]]
[[ka:იმპულსის მომენტი]]
[[kk:Қозғалыс мөлшері моменті]]
[[lt:Judesio kiekio momentas]]
[[hu:Perdület]]
[[mk:Момент на импулсот]]
[[mr:कोनीय संवेग]]
[[ms:Momentum sudut]]
[[nl:Impulsmoment]]
[[ja:角運動量]]
[[no:Drivmoment]]
[[nn:Vinkelmoment]]
[[pl:Moment pędu]]
[[pt:Momento angular]]
[[ro:Moment cinetic]]
[[ru:Момент импульса]]
[[sq:Impulsi këndor]]
[[simple:Angular momentum]]
[[sk:Moment hybnosti]]
[[sl:Vrtilna količina]]
[[sr:Момент импулса]]
[[su:Moméntum sudut]]
[[fi:Pyörimismäärä]]
[[ta:வளைவுந்தம்]]
[[th:โมเมนตัมเชิงมุม]]
[[tr:Açısal momentum]]
[[uk:Момент імпульсу]]
[[vi:Mô men động lượng]]
[[zh:角动量]]

Rörelsemängdsmoment - Versionshistorik

Dan Olsson: 1 version