Dan Olsson den 3 april 2013 kl. 20.16

2013-04-03T20:16:05Z

← Äldre version		Versionen från 3 april 2013 kl. 15.16
Rad 2:		Rad 2:

	== Historia ==		== Historia ==
	De sjutton symmetrigrupperna behandlades först av [[Robert Fricke]] och [[Felix Klein]] 1897 och studerades vidare av [[George Pólya]] och [[Paul Niggli]] 1924.		De sjutton symmetrigrupperna behandlades först av Robert Fricke och Felix Klein 1897 och studerades vidare av George Pólya och Paul Niggli 1924.

	== De sjutton symmetrigrupperna ==		== De sjutton symmetrigrupperna ==
Rad 8:		Rad 8:

	== Definition ==		== Definition ==
	Symmetrigrupperna är [[topologi]]skt [[diskreta värden\|diskreta]] [[grupp (matematik)\|grupp]] av [[isometri]]er av det [[euklidiskt plan\|euklidiska planet]] som innehåller två [[ortogonal]]a translationsaxlar (skilt från frieze grupp där fallet är en translation). Av [[Bieberbachs sats]] följer att de 17 symmetrigrupperna i planet är olika abstrakta grupper.		Symmetrigrupperna är [[topologi]]skt [[diskreta värden\|diskreta]] [[grupp (matematik)\|grupp]] av [[isometri]]er av det [[euklidiskt plan\|euklidiska planet]] som innehåller två [[ortogonal]]a translationsaxlar (skilt från frieze grupp där fallet är en translation). Av Bieberbachs sats följer att de 17 symmetrigrupperna i planet är olika abstrakta grupper.

	Isometrier i det euklidiska planet delas upp i fyra kategorier.		Isometrier i det euklidiska planet delas upp i fyra kategorier.
Rad 89:		Rad 89:

	=== Konst ===		=== Konst ===
	I palatset [[Alhambra]] återfinns alla de 17 kristallografiska grupperna, i olika delar av palatset.		I palatset Alhambra återfinns alla de 17 kristallografiska grupperna, i olika delar av palatset.

	I [[M.C. ~~Escher]]s~~ konst går det att finna symmetrier. Han visste dock inte om detta förrän hans bror som var geolog la märke till det matematiska sambandet.		I M.C. Eschers konst går det att finna symmetrier. Han visste dock inte om detta förrän hans bror som var geolog la märke till det matematiska sambandet.

	I konst allmänt så förekommer ibland dessa symmetrier.		I konst allmänt så förekommer ibland dessa symmetrier.
Rad 112:		Rad 112:

	[[Kategori:Kristallografi]]		[[Kategori:Kristallografi]]
	~~[[Kategori:Gruppteori]]~~
	~~[[Kategori:Ornament]]~~

Dan Olsson: 1 version

2013-04-03T20:09:17Z

1 version

Ny sida

Symmetrigrupp i planet (eller kristallografisk grupp) är det matematiska tillvägagångssättet att kategorisera särskilt mönster i två-dimensionella objekt med avseende på symmetrin i mönstret. Det existerar totalt 17 olika grupper.

== Historia ==
De sjutton symmetrigrupperna behandlades först av [[Robert Fricke]] och [[Felix Klein]] 1897 och studerades vidare av [[George Pólya]] och [[Paul Niggli]] 1924.

== De sjutton symmetrigrupperna ==
Man kategoriserar [[mönster]] genom deras [[symmetri]]. Liknande mönster kan kategoriseras till olika grupper eftersom de har underliggande skillnader medan mönster som ser väldigt olika ut har samma egenskaper för att kategoriseras i samma grupp.

== Definition ==
Symmetrigrupperna är [[topologi]]skt [[diskreta värden|diskreta]] [[grupp (matematik)|grupp]] av [[isometri]]er av det [[euklidiskt plan|euklidiska planet]] som innehåller två [[ortogonal]]a translationsaxlar (skilt från frieze grupp där fallet är en translation). Av [[Bieberbachs sats]] följer att de 17 symmetrigrupperna i planet är olika abstrakta grupper.

Isometrier i det euklidiska planet delas upp i fyra kategorier.

* ''[[Translation (matematik)|Translationer]]'', dessa betecknas <math>T_\vec{v}</math> och beskriver en förflyttning längs vektor <math>\vec{v}</math> i planet.

* ''[[Rotation (avbildning)|Rotationer]]'', dessa betecknas <big><math> R_{C,\theta}</math></big> där <big><math>C</math></big> är den punkt det roteras kring och <math>\theta</math> är vridningsvinkeln. Om <math>\theta=\frac{360^o}{n}</math>, där <math>n</math> är ett positivt heltal, så är det en n:te rotationssymmetri.

* ''[[Reflektion]]er'', dessa betecknas <math>R_m</math> kring en linje <math>m</math> transformerar alla punkter på linjen på sig själv och alla punkter <math>p</math> som inte ligger på linjen på <math>p^\prime</math>.

* ''[[Glidreflektion]]er'', dessa betecknas <math>G_\vec{PQ}</math> med vektorn <math>\vec{PQ}</math> och är en produkt av en reflektion med linjen <math>PQ</math> och en icke-identitets translation <math>T_\vec{PQ}</math>.

De symmetrigrupper som definierar ett särskilt mönster måste innehålla en ändlig subgrupp av isometrier, som kallas [[punktgrupp]]. Rotationen i dessa punkt-subgrupper demonstreras av den n:te rotations symmetrin som är begränsad till <math>n=2,3,4,6</math> dvs 180°, 120°, 90° och 60°. Detta leder till att det existerar exakt 17 möjliga symmetrier i planet.

{| class="sortable wikitable" style="font-style: italic; text-align: center;↵
|+ Symmetrier i planet
! Antal mönster || n:te rotationssymmetri
|-
| 5 || 2
|-
| 3 || 3
|-
| 3 || 4
|-
| 2 || 6
|-
| 4 || Ingen
|}
Detta samband fås ger kristallografiska begränsningssatsen.

Notationerna för symmetrigrupperna börjar antingen med p eller c, detta för "primitiv cell" eller "centrerad cell". Dessa är följd av en siffra, <math>n</math>, som anger den största ordningen av rotationssymmetri, se tabell ovan. De två sista symbolerna anger symmetrier relativt till en translationaxeln av mönstret, man ser det som "huvud"-axel. Dessa symboler är antingen m, g eller 1, står för spegling, glidreflektion eller inget.

{| class="sortable wikitable" style="font-style: italic; text-align: center;↵
|+ Beteckningar
! Grupp|| Rotationsordning || reflektion || glid-reflektion
|-
| p1 || - || - || -
|-
| p2 || 2 || - || -
|-
| pm || - || Ja || -
|-
| pg || - || - || Ja
|-
| cm || - || Ja || Ja
|-
| pmm || 2 || Ja || -
|-
| pmg || 2 || Ja || Ja
|-
| pgg || 2 || - || Ja
|-
| cmm || 2 || Ja || -
|-
| p4 || 4 || - || -
|-
| p4m || 4 || Ja || Ja
|-
| p4g || 4 || Ja || Ja
|-
| p3 || 3 || - || -
|-
| p3m1 || 3 || Ja || Ja
|-
| p31m || 3 || Ja || Ja
|-
| p6 || 6 || - || -
|-
| p6m || 6 || Ja || Ja
|-
|}

I tabellen ser man att flera ser likadana ut, fast de skiljer sig för antal reflektioner, glidreflektioner. Även riktningen för dessa reflektioner eller glidreflektioner spelar roll.

== Tillämpningar ==

=== Kristallografi ===

Inom [[röntgenkristallografi]] använder man sig av [[röntgenstrålning]] för att kartlägga strukturen hos olika material. Man använder sig inte av mikroskop för att studera kristaller eftersom synligt ljus har för hög våglängd, därav valet av röntgen. Det man studerar är kopplingarna mellan atomer i kristalliserat material.

=== Konst ===
I palatset [[Alhambra]] återfinns alla de 17 kristallografiska grupperna, i olika delar av palatset.

I [[M.C. Escher]]s konst går det att finna symmetrier. Han visste dock inte om detta förrän hans bror som var geolog la märke till det matematiska sambandet.

I konst allmänt så förekommer ibland dessa symmetrier.

== Referenser ==
* Cederberg, Judith (2004): A course in modern geometries. Northfield: Springer. ISBN:978-0-387-98972-3
* [http://www.clarku.edu/~djoyce/wallpaper/history.html History of crystallographic groups and related topics] Av David E. Joyce
* [http://www.clarku.edu/~djoyce/wallpaper/seventeen.html The 17 plane symmetry group] av David E. Joyce
* [http://www.emis.de/monographs/jablan/index.html "Theory of Symmetry and Ornament"] ur Electronic reprint, copyright 1995, Slavik V. Jablan, Book Mathematical Institute, Belgrade, Yugoslavia, 1995 Library of Congress Catalog Card Number 96-217270 ISBN 86-80593-17-6
* Beardon, Alan (2005). "Algebra and Geometry", Cambridge University Press ISBN:0-5218-9049-7

== Externa länkar ==
* "[http://www.clarku.edu/~djoyce/wallpaper/seventeen.html The 17 plane symmetry groups]" av [[David E. Joyce]]
* [http://www.geom.uiuc.edu/education/math5337/Wallpaper/introduction.html Introduction to Wallpaper Patterns] av [[Chaim Goodman-Strauss]] och [[Heidi Burgiel]]
* [http://www.geom.uiuc.edu/docs/reference/CRC-formulas/node12.html Beskrivning] av [[Silvio Levy]]
* [http://clowder.net/hop/17walppr/17walppr.html Exempel på alla grupperna]
* [http://www.math.toronto.edu/~drorbn/Gallery/Symmetry/Tilings/Sanderson/index.html Översikt med exempel på alla grupperna]
* [http://escher.epfl.ch/escher/ Escher Web Sketch], ett program för att rita i alla grupperna
{{commonscat|Wallpaper group diagrams}}

[[Kategori:Kristallografi]]
[[Kategori:Gruppteori]]
[[Kategori:Ornament]]

Symmetrier i planet - Versionshistorik

Dan Olsson den 3 april 2013 kl. 20.16

Dan Olsson: 1 version