Dan Olsson: 1 version

2013-02-24T18:33:55Z

1 version

Ny sida

:''Denna artikel handlar om en kropps motstånd mot rotationsändring. För en kropps motstånd mot böjning, se [[böjtröghetsmoment]].''

'''Tröghetsmoment''' är ett mått på motståndet att accelerera en kropps rotation. Tröghetsmomentet betecknas med ''I'' eller ''J'', och används för att beskriva [[stela kroppars dynamik]]. Tröghetsmomentet har samma roll i rotationsrörelser som [[massa]] har för translationsrörelse. Tröghetsmoment introducerades av [[Leonhard Euler|Euler]].

Tröghetsmomentet för rotation runt en given axel beror av kroppens form och hur massan är fördelad i kroppen:
:<math>I_0 = \sum_i r_i^2m_i,</math>
där ''r''i är avståndet från masselementet ''m''i till den givna rotationsaxeln.

Liksom [[moment]] varierar tröghetsmomentet beroende på referenssystemet, men genom att bestämma en kropps tröghetsmoment med avseende på en axel genom masscentrum kan sedan [[parallellaxelsatsen]],
:<math>I_0 = I + d^2m,</math>
användas för att omvandla tröghetsmomentet med avseende på godtycklig axel (parallell med den första) på avståndet ''d'' från masscentrum.

För kontinuerliga massfördelningar används [[integral]]en
:<math>I_0 = \int\int\int_V r^2dm.</math>
d''m'' är det kontinuerliga masselementet från ett volymselement,
:<math>dm = \rho dV,</math>
där ''ρ'' är [[densitet]]en.

== Tröghetstensorn ==
Tröghetsmoment mer generellt, när axeln inte är given, beskrivs av andra ordningens [[tensor]] ([[matris (matematik)|matris]]) '''I''' = Iij:
:<math>\bar{\bar{I}} = m(R\cdot R\bar{\bar{1}} - RR) =
\begin{bmatrix}
I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\
I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\
I_{zx} & I_{zy} & I_{zz}
\end{bmatrix}
</math>
För en stel kropp är tröghetstensorn summan av varje partikels moment: ''m'' → ''m''i, '''R''' → '''R'''i. Elementen ''I''ii kallas för '''tröghetsmoment''', medan elementen ''I''ij, i ≠ j, kallas för '''tröghetsprodukter'''.

Tröghetstensorn beräknas så här:

:<math>I_{11} = I_{xx} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{k=1}^{N} m_{k} (y_{k}^{2}+z_{k}^{2}),\,\! </math>
:<math>I_{22} = I_{yy} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{k=1}^{N} m_{k} (x_{k}^{2}+z_{k}^{2}),\,\!</math>
:<math>I_{33} = I_{zz} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{k=1}^{N} m_{k} (x_{k}^{2}+y_{k}^{2}),\,\!</math>
:<math>I_{12} = I_{xy} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ -\sum_{k=1}^{N} m_{k} x_{k} y_{k},\,\!</math>
:<math>I_{13} = I_{xz} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ -\sum_{k=1}^{N} m_{k} x_{k} z_{k},\,\!</math>
:<math>I_{23} = I_{yz} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ -\sum_{k=1}^{N} m_{k} y_{k} z_{k},\,\!</math>

och <math>I_{12}=I_{21}</math>, <math>I_{13}=I_{31}</math>, och <math>I_{23}=I_{32}</math>.
(<math>I</math> är alltså en symmetrisk tensor.)

Här betecknar <math>I_{xx}</math> tröghetsmomentet runt x-axeln vid rotation runt samma axel, medan <math>I_{xy}</math> betecknar tröghetsmomentet runt y-axeln vid rotation runt x-axeln, och så vidare.

Troghetstensorns form beror på valet av koordinatsystem för x,y,z. Det finns alltid ett val av [[koordinatsystem]] så att tröghetsmomentet kan skrivas
:<math>\bar{\bar{I}} =
\begin{bmatrix}
I_{xx} & 0 & 0\\
0 & I_{yy} & 0 \\
0 & 0 & I_{zz}
\end{bmatrix}.
</math>
Detta moment motsvarar ett koordinatsystem som sammanfaller med [[principalaxel|principalaxlarna]]. Genom att välja [[principalaxlar]] fås ett tröghetsmoment som bara innehåller diagonalelement. Alternativt kan tröghetsmomentet [[diagonalisering|diagonaliseras]] för att hitta principalaxlarna.

== Exempel ==

{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
|-----
|+
'''Formler för tröghetsmoment i vanligt förekommande homogena kroppar med massa ''m''.'''
|-----
|
[[Fil:moment of inertia thick cylinder h.png]]
|<math>I_z = \frac{1}{2} m\left({r_1}^2 + {r_2}^2\right)</math><ref>[http://www.livephysics.com/problems-and-answers/classical-mechanics/find-moment-of-inertia-of-a-uniform-hollow-cylinder.html Classical Mechanics - Moment of inertia of a uniform hollow cylinder]. LivePhysics.com. Läst: 18 februari 2010</ref> <math>I_x = I_y = \frac{1}{12} m\left[3\left({r_2}^2 + {r_1}^2\right)+h^2\right]</math>

Ur detta kan man få tröghetsmomentet för några specialfall:

Tunn stav (<math>r_1 \approx r_2 \approx 0</math>):
:<math>I_z = 0 \ </math>
:<math>I_x = I_y = \frac{m L^2}{12}</math>

Cylinderskal (<math>r_1 \approx r_2</math>):
:<math>I_z = m r^2 \ </math>
:<math>I_x = I_y = \frac{1}{12} m\left(6r^2+h^2\right)</math>

Ring (<math>r_1 \approx r_2, h \approx 0</math>):
:<math>I_z = m r^2 \ </math>
:<math>I_x = I_y = \frac{m r^2}{2}</math>

|-
|
|
Tunn stav, fastsatt i ena ändpunkten:
:<math>I = \frac{1}{3} m L^2</math>
|-----
|
|
Rektangulär bricka med sidorna ''a'' och ''b'', fastsatt i brickans mitt:
:<math>I = \frac{1}{12} \cdot m \cdot (a^2 + b^2)</math>
|-----
|
|
En rektangulär bricka med längden ''L'' och försumbar bredd, fastsatt i ena ändan: {{förtydliga här|samma sak som tunn stav?|datum=2010-02}}
:<math>I = \frac{1}{3} \cdot m \cdot L^2</math>
|-----
|
|
Ett massivt klot med radie ''R'', fastsatt så att rotationsaxeln går genom klotets centrum:
:<math>I = \frac{2}{5} \cdot m \cdot R^2</math>
Ett klotformat skal (klot med inre radie ''r'' ≈ ''R''):
:<math>I = \frac{2}{3} \cdot m \cdot R^2</math>
|}

== Källor ==
=== Noter ===
<references />

[[Kategori:Fysikaliska storheter]]
[[Kategori:Mekanik]]
[[Kategori:Hållfasthetslära]]
{{Link GA|de}}

[[af:Traagheidsmoment]]
[[ar:عزم العطالة]]
[[be:Момант інерцыі]]
[[be-x-old:Момант інэрцыі]]
[[bg:Масов инерционен момент]]
[[bs:Moment inercije]]
[[ca:Moment d'inèrcia]]
[[cs:Moment setrvačnosti]]
[[da:Inertimoment]]
[[de:Trägheitsmoment]]
[[et:Inertsimoment]]
[[el:Ροπή αδράνειας]]
[[en:Moment of inertia]]
[[es:Momento de inercia]]
[[eo:Inercimomanto]]
[[eu:Inertzia momentu]]
[[fa:ممان اینرسی]]
[[fr:Moment d'inertie]]
[[gl:Momento de inercia]]
[[ko:관성 모멘트]]
[[hi:जड़त्वाघूर्ण]]
[[hr:Moment inercije]]
[[id:Momen inersia]]
[[is:Hverfitregða]]
[[it:Momento di inerzia]]
[[he:מומנט התמד]]
[[ka:ინერციის მომენტი]]
[[kk:Инерция моменті]]
[[ht:Moman inèsi]]
[[lt:Inercijos momentas]]
[[hu:Tehetetlenségi nyomaték]]
[[ms:Momen inersia]]
[[nl:Traagheidsmoment]]
[[ja:慣性モーメント]]
[[no:Treghetsmoment]]
[[pl:Moment bezwładności]]
[[pt:Momento de inércia]]
[[ro:Moment de inerție]]
[[ru:Момент инерции]]
[[sq:Momenti i Inercisë]]
[[simple:Moment of inertia]]
[[sk:Moment zotrvačnosti]]
[[sl:Vztrajnostni moment]]
[[sr:Момент инерције]]
[[fi:Hitausmomentti]]
[[ta:நிலைமத் திருப்புத்திறன்]]
[[tr:Eylemsizlik momenti]]
[[uk:Момент інерції]]
[[vi:Mô men quán tính]]
[[zh:轉動慣量]]

Tröghetsmoment - Versionshistorik

Dan Olsson: 1 version