Dan Olsson: 1 version

2013-02-24T18:33:40Z

1 version

Ny sida

En '''vinkel''' eller ett '''vinkelområde''' är ett område av ett [[plan]], begränsat av två [[stråle|strålar]], det vill säga delar av [[rät linje|räta linjer]] som [[skär]] varandra. Strålarna utgör vinkelområdets [[rand (geometri)|rand]], och kallas för vinkelns [[vinkelben|ben]]. Skärningspunkten (och ändpunkten för strålarna) kallas för [[vinkelspets]]. Normalt markeras en vinkel med en vinkelbåge. Vinkelbegreppet används inom [[trigonometri]] och [[geometri]].

För att mäta vinklar ritas en cirkelbåge med centrum i vinkelspetsen. [[Radian]]måttet för vinkeln är längden av bågen mellan vinkelbenen dividerad med cirkelns radie. Vanligen uttrycks dock vinkeln i [[Grad (vinkelenhet)|grader]]
: <math>\theta(rad) = \frac{b{a\!\!^\circ}gl{\ddot a}ngden}{radien}</math>

: <math>\theta(grader) = \frac{b{a\!\!^\circ}gl{\ddot a}ngden}{omkretsen}\cdot 360</math>

Symbolen för enheten [[Grad (vinkelenhet)|grad]] är en lite upphöjd cirkel (°).

Ibland, men inte så ofta, förekommer gradmåttet [[Gon (vinkelenhet)|gon]] (nygrader).

I militära sammanhang har man använt vinkelmåttet '''[[Streck (vinkelenhet)|streck]]''' (betecknas med en apostrof:'), utgående från att en meters sidoförskjutning på 1000 meters håll är ett streck. Av praktiska skäl avrundas 2[[pi|π]]·1000 till 6300, och det går då 6300' på ett varv. Den avrundningen gjordes tidigare i Sverige, i andra länder förekommer det andra praktiska avrundningar till bland annat 6000 eller 6400 streck på ett varv. Det senare används numera i Sverige under beteckningen mils.

En vinkel kan maximalt utgöra hela planet, då vinkelbenen sammanfaller. Denna vinkel är då
* 2π radianer
* 360°
* 400 gon
* 6300'

Om vinkelbenen är delar av samma räta linje, men riktade åt olika håll, utgör vinkeln ett halvplan. En sådan vinkel kallas '''rak vinkel''', och dess mått är
* π radianer
* 180°
* 200 gon
* 3150'

Om en rak vinkel delas mitt itu av en tredje stråle, bildas två '''räta vinklar'''. Dess mått är
* π/2 radianer
* 90°
* 100 gon
* 1575'

En [[normal]] är en linje som skär en given linje eller kurva i rät vinkel. "Rätvinklig mot" betecknas ⊥ (se figur 1).
<div>
[[Fil:Right angle.svg|100px]]
: ''Figur 1. Två vinkelräta linjer.<br />Den ena är ''normal'' till den andra.''
</div>
<div>
[[Fil:Vinkel2.png]]
: ''Figur 2. <br />A: Cirkelsektor <br />B: Cirkelbåge''
</div>

== Cirkeln ==
En '''grad''' (förtydligat [[vinkelgrad]]), vanligtvis betecknad med °, är ett mått på plana vinklar eller en position på en [[storcirkel]] (en [[cirkel]] på en [[sfär]] med mittpunkt som sammanfaller med sfärens mittpunkt) i en [[sfär]], ex. [[jorden]] el. planetrörelser runt andra himlakroppar. En grad motsvarar 1/360 dels varv runt cirkelns – eller sfärens – [[omkrets]] (jfr [[jordens koordinatsystem]]).
* 1° motsvarar 1/360 varv runt periferin
* '''minuter''', betecknas med ett [[primtecken]] (′), 1 minuter = (1/60)° = 1/21 600 varv,
* '''sekunder''', betecknas med [[dubbelprimtecken|dubbla primtecken]] (″), 1 sekund = 1/60 minut = 1/1 296 000 varv.

Ex. motsvarar 40°12′13″ 40 grader, 12 minuter och 13 sekunder, eller ungefär 11/100 varv runt jorden.

I matematiska och tekniska sammanhang används ofta [[radian]]er. En grad motsvarar π/180 rad, och ett varv runt cirkel motsvarar 2π radianer.

Ett modernt vinkelmått anpassat efter decimala systemet är [[nygrad]]er. 1 nygrad motsvarar 1/400 varv runt periferin:
* 90° motsvarar 100 nygrader (100<sup>g</sup>),
* 1<sup>g</sup> indelas i 100 nyminuter (100<sup>c</sup>),
* 1<sup>c</sup> indelas i 100 nysekunder (100<sup>cc</sup>).

== Annat som mäts i vinkelenheter ==
Vinklar är alltid mellan 0 och 360, men gradtal större än 360° och negativa värden är tänkbara i andra sammanhang:

* Vinkel - se ovan
* Riktning:
** Kompassriktning (bäring) anges som grader för den vinkel som bildas räknat medurs från nordriktningen. Öster=90°, söder=180°, väster=270° och norr=360° eller 0°.
** Numrering av flygets start- och landningsbanor består av kompassriktningen avrundad till närmaste tiotals grader. En bana i öst-västlig riktning har då numret 09 vid start mot öster och 27 vid start mot väster.
** I ett polärt koordinatsystem räknas riktningen moturs från positiva första axeln (oftast ''x''-axeln). I dessa fall kan man tänka sig riktningar i olika intervall såsom 0°<v<360°, -90°<v<270° eller -180°<v<180°.
* Vridning. Här kan vilka som helst värden tänkas. En vridning på 450° resulterar i samma riktning som en vridning på 90°, men först efter ett helt varvs vridning. (Alltså den vridning som minutvisaren på en klocka gör på 75 minuter.)
* Växelström. Fasförskjutning mellan sinusformade elektriska signaler. Två tidsförskjutna spänningar tecknas U<sub>1</sub>(sin ωt) och U<sub>2</sub>(sin ωt + φ). Vinkelfrekvensen är ω = 2πf, där f är frekvensen i Hertz. Fasskillnaden φ uttrycks i grader eller radianer. Förskjutningen mellan signalerna kan även uttryckas som en tid ∆t = φ/ω.

== Konvertering mellan vinkelenheter ==
För att konvertera en vinkel från en enhet till en annan använder man enklast tumregeln ''tillenhet genom frånenhet''. Till exempel blir det för omvandling från gon till grader:

:<math>grader = gon \cdot \frac{360}{400}</math>

== Vinkelmåttens historia ==
Gradmåttet där varvet delas in i 360 grader härstammar från det [[babyloniska räknesystemet]], där [[talbas]]en var 60. Inte oväsentligt i sammanhanget är att ett år är drygt 360 dagar långt.

När [[matematisk analys]] utvecklades på [[1600]]-talet, sökte man efter ett för differentialkalkylen lämpligare universellt mått, och införde [[radian]]begreppet.

I [[decimalsystem]]ets anda införde man på 1800-talet i Frankrike nygrader, eftersom 100 nygrader på ett kvartsvarv ser mer "naturligt" ut än 90 grader. Det underlättar vissa huvudräkningar (varje kvadrant har sin hundratalssiffra). Man slipper räknandet med sextiondedelar när man arbetar med bråkdelar av en grad. Nygrader har främst använts inom [[geodesi]]n, men inom andra områden har enheten inte fått det genomslag som man en gång förväntade sig.

Det universella vinkelmåttet är [[radian]]er eftersom detta tar bort godtyckligheten i talet 360 inom gradsystemet och eftersom [[trigonometrisk funktion|trigonometriska funktioner]] kan deriveras enkelt samt därmed uttryckas med enkla [[taylorserie]]r om deras argument är specificerat i radianer. [[SI|SI-systemet]] för enheter använder [[radian]]er som (den härledda) enheten för vinklar.

== Typer av vinklar ==
* En vinkel som är mindre än en rät vinkel (90°) kallas '''spetsig vinklel'''.
* En vinkel som är större än en rät vinkel (90°) kallas '''trubbig vinklel'''.
* Om summan av två vinklar är en rät vinkel (90°) brukar vinklarna kallas '''komplementvinklar'''.
* Om summan av två vinklar är en rak vinkel (180°) brukar vinklarna kallas '''supplementvinklar'''.
* Om summan av två vinklar är 360° brukar vinklarna kallas '''explementvinklar'''.

Den linje, som skär två eller flera andra linjer, kallas '''transversal (tvärlinje) till linjerna'''. I varje skärningspunkt bildas fyra vinklar.
* Två [[rät linje|räta linjer]] som korsar varandra bildar fyra vinklar. Varje vinkel är likadan som motstående '''vertikalvinkel''' (se figur 2a), medan de övriga paren kallas '''sidovinklar''' och är supplementvinklar (se ovan).
* Om en rät linje korsar två [[parallell (matematik)|parallella]] linjer bildas fler relationer. '''Likbelägna vinklar''' är lika stora, liksom '''alternatvinklar'''. Alternatvinklar är de vinklar som i figuren är vertikalvinklar till de markerade (se figur 2b), dvs. de ligger mellan de parallella linjerna men på var sin sida om den skärande linjen.

* Summan av en [[triangel]]s (inre tre) vinklar bildar beloppet 180°.
* Summan av en [[fyrhörning]]s (inre fyra) vinklar bildar beloppet 360°
* Summan av en ''n''-sidig [[polygon]]s (inre ''n'') vinklar bildar beloppet (''n'' - 2)·180° eller (''n'' - 2)·π rad.

<div>
[[Fil:Vertical angles.png|113px]]
:''Figur 2a. Två räta linjer som korsar varandra i en gemensam punkt.''
<div>
<div>
[[Fil:Corresponding angles.png|113px]]
:''Figur 2b. Tre räta linjer som sammanfaller i två punkter.''
</div>

== Externa länkar ==
* {{wiktionary|Vinkel}}
* [http://www.trixon.se/goniolab/goniolab-dd/sv GonioLab DD] – Omvandlar mellan DecDeg och DegMinSec, och tillbaka (kräver Java Web Start).

{{SI}}

[[Kategori:Geometri]]
[[Kategori:Fysikaliska storheter]]
[[Kategori:Vinkelenheter| ]]
[[Kategori:Wikipedia:Basartiklar]]

{{Link FA|nl}}

[[af:Hoek (meetkunde)]]
[[als:Winkel (Geometrie)]]
[[ar:زاوية (هندسة)]]
[[an:Anglo]]
[[arc:ܙܘܝܬܐ (ܡܚܪܘܬܐ)]]
[[ast:Ángulu]]
[[gn:Takamby]]
[[ay:K'uchu]]
[[az:Bucaq]]
[[bn:সমকোণ]]
[[be:Вугал]]
[[be-x-old:Кут]]
[[bg:Ъгъл]]
[[bs:Ugao]]
[[br:Korn (mentoniezh)]]
[[ca:Angle]]
[[cs:Úhel]]
[[sn:Gonyo]]
[[cy:Ongl]]
[[da:Vinkel]]
[[de:Winkel]]
[[et:Nurk]]
[[el:Γωνία]]
[[en:Angle]]
[[es:Ángulo]]
[[eo:Angulo]]
[[eu:Angelu (geometria)]]
[[fa:زاویه]]
[[fr:Angle]]
[[gd:Ceàrn (Matamataig)]]
[[gl:Ángulo]]
[[gan:角]]
[[ko:각도]]
[[hi:कोण]]
[[hr:Kut]]
[[io:Angulo]]
[[id:Sudut (geometri)]]
[[it:Angolo]]
[[he:זווית]]
[[ka:კუთხე]]
[[kk:Бұрыш (геометрия)]]
[[sw:Pembe (jiometria)]]
[[ht:Ang]]
[[la:Angulus]]
[[lv:Leņķis]]
[[lt:Kampas]]
[[ln:Litúmu]]
[[hu:Szög]]
[[mk:Агол]]
[[ml:കോൺ]]
[[mr:कोन]]
[[ms:Sudut]]
[[nl:Hoek (meetkunde)]]
[[ne:कोण]]
[[ja:角度]]
[[no:Vinkel]]
[[nn:Vinkel]]
[[oc:Angle]]
[[mhr:Лук]]
[[uz:Burchak]]
[[pnb:کونا]]
[[km:មុំ]]
[[pl:Kąt]]
[[pt:Ângulo]]
[[ro:Unghi]]
[[qu:Chhuka]]
[[ru:Угол]]
[[scn:Ànculu]]
[[si:කෝණය]]
[[simple:Angle]]
[[sk:Uhol]]
[[sl:Kot]]
[[ckb:گۆشە]]
[[sr:Угао]]
[[sh:Ugao]]
[[su:Juru (élmu ukur)]]
[[fi:Kulma]]
[[tl:Anggulo]]
[[ta:கோணம்]]
[[th:มุม]]
[[tr:Açı]]
[[uk:Кут]]
[[ur:زاویہ]]
[[vi:Góc]]
[[zh-classical:角]]
[[war:Anggulo]]
[[zh-yue:角 (幾何)]]
[[zh:角]]

Vinkel - Versionshistorik

Dan Olsson: 1 version